Задание 2 "Кузнечик" Кузнечик прыгает по числовой прямой и всегда начинает свое путешествие из точки 0. 2.1. Кузнечик может прыгать на 3 и на 5 единиц длины как впе- ред, так и назад. Покажите, что он может попасть как в точку 1, так и в точку -1. 2.2. Покажите, что в ситуации задачи 2.1 Кузнечик может попасть в любую целую точку (то есть в точку числовой прямой, координа- та которой - целое число). 2.3. Что можно сказать про путешествия Кузнечика (см. пункты 2.1 и 2.2), если у него прыжки длиной (а) 4 и 6; (б) 5 и 7; (в) 6 и 9. Докажите свои утверждения. Далее Кузнечик начинает свое путешествие из точки 0, но пры- гает по числовой прямой только вперед (в положительном направ- лении). Точки, в которые он может попасть, называются достижи- мыми, остальные - недостижимыми. Начальная точка 0 считается достижимой. Все отрицательные целые точки оказываются недости- жимыми. 2.4. Кузнечик может прыгать вперед на 3 и на 5 единиц длины. Отметьте все достижимые точки. Докажите, что все точки, начиная с 8, оказываются достижимыми. Замечание. Пометим достижимую точку буквой A, а недостижимую - буквой B. Вот как раположатся пометки вблизи точки 0: ...BBBABBA... Первая слева буква A отмечает точку старта (точку 0). До нее слева буквы B отмечают недостижимые отрицательные точки. Нужно продолжить пометки вправо, интересно, как там расположены бук- вы. 2.5. Кузнечик может прыгать вперед на 5 и на 7 единиц длины. Отметьте все достижимые точки (приведите слово из букв A и B). Начиная с какой достижимой точки все следующие за ней также бу- дут достижимые? 2.6. Кузнечик может прыгать вперед на a и на b единиц длины, где a и b - взаимно простые числа (их наибольший общий делитель равен 1). Докажите, что есть замечательная точка, которая дос- тижимая и все следующие за ней тоже достижимые. Найдите формулу замечательной точки (зависимость ее координаты от a и b). Как устроены множества достижимых и недостижимых точек? 2.7. Проверьте в случаях 2.4 и 2.5, что множества достижимых и недостижимых точек симметричны друг другу относительно некото- рой точки. Докажите это утверждение в общем случае 2.6. 2.8. Опираясь на результат 2.7, подсчитайте в случае 2.6 коли- чество положительных недостижимых точек. 2.9. Кузнечик может прыгать вперед на a, b и c единиц длины, где a, b и c - попарно взаимно простые числа. Исследуйте эту ситуацию, сформулируйте свои гипотезы и расскажите о результа- тах. Не обязательно отвечать на все вопросы. Выберите то, что Вам интересно и доступно. Это одни вопросы для младших (6-7 классы) и другие для старших (10-11 классы, студенты младших курсов). О задачах Прежде всего отметим, что для того, чтобы решать задачи, не требуются никакие книжки, нужно только желание. Кузнечик - исполнитель из учебника "Алгоритмика" для 5-7 классов. Обобщения пунктов 2.1 - 2.3 затрагивают алгоритм Ев- клида. В Заочной Математической Школе при МГУ (позднее ОЛ ВЗМШ) было очень хорошее задание "Целые числа" Н.Б.Васильева и В.Л.Гутенмахера, в нем есть решение уравнений ax+by=c в целых числах (a,b и c - целые), причем и с геометрической точки зре- ния. Задача 2.4 (в формулировке с трехкопеечными и пятикопееч- ными монетами) - стандартный пример на метод математической ин- дукции: "Если первая в очереди женщина и за каждой женщиной стоит женщина, то все в очереди женщины". Задачу об устройстве множества достижимых точек в общем случае (прыжки длиной a_1, ..., a_n) недавно (примерно год назад) упомянул В.И.Арнольд. С помощью вычислительного эксперимента можно исследовать, с какой частотой встречаются достижимые точки на различных участках от- резка [0,L], где L - замечательная точка. (С) С.И.Соболев, 1999-2002