Задание 4 "Переливания и перемешивание"
--- Вокруг самовара -------------------------------------------
4.1. Поставили самовар, а потом 7 раз садились пить чай и каж-
дый раз выпивали половину имеющейся в нем воды. Оказалось, что
после этого остался всего стакан воды. Сколько воды было в са-
моваре перед чаепитием?
4.2. Поставили самовар, а потом 7 раз садились пить чай и каж-
дый раз выпивали половину имеющейся в нем воды и еще полстака-
на, после чего воды не осталось. Сколько воды было в самоваре
перед чаепитием?
4.3. Имеются две одинаковые чашки, одна с чаем, а другая - пус-
тая. Из первой переливают половину имеющегося в ней чая во вто-
рую, затем из второй переливают треть имеющегося в ней чая в
первую, затем из первой переливают четверть имеющегося в ней
чая во вторую и т.д. Сколько чая окажется в каждой из чашек
после 100 переливаний?
--- Кофе с молоком --------------------------------------------
4.4. В чашку налили 20 ложек кофе. Аня выпивает из чашки одну
ложку кофе и добавляет одну ложку молока. Перемешивает. Затем
выпивает одну ложку смеси и опять добавляет одну ложку молока.
Сколько раз Аня может проделать эту операцию, прежде чем в сме-
си кофе станет меньше, чем молока?
4.5. Имеются пол-чашки кофе и пол-чашки молока. Ложку молока
перелили в кофе, небрежно перемешали и ложку полученной неодно-
родной смеси перелили обратно в молоко. Чего в результате может
оказаться больше: молока в кофе или кофе в молоке?
--- Перемешивание ---------------------------------------------
4.6. В двух достаточно больших бидонах содержится: в первом 2 л
кофе, а во втором -- 2 л молока. Из первого переливают 1 л во
второй, перемешивают, а затем переливают 1 л обратно в первый
бидон и опять перемешивают (будем считать, что одно переливание
состоит из двух шагов). Докажите, что если эти действия повто-
рять, то количество кофе как в первом, так и во втором бидоне
будет стремиться к 1 литру.
В этом случае концентрации кофе в бидонах выравниваются.
Когда такое наблюдается, будем говорить, что происходит переме-
шивание.
4.7. Пусть с каждым шагом переливают c литров из первого бидона
во второй и обратно, 0 < c < 2. Докажите, что перемешивание
также происходит.
А если для каждого переливания можно брать свою поварешку?
Пусть для n-го переливания берется поварешка объемом c_n лит-
ров, 0 < c_n < 2. Что в решении задачи 4.7 изменится?
4.8. Докажите, что если для каждого переливания можно брать
свою поварешку, то перемешивания может и не быть. Считаем, что
есть поварешки всех мыслимых размеров, больше 0 и меньше 2 лит-
ров, переливание состоит из двух шагов.
4.9. За 2n переливаний поварешкой объемом c литров (0 < c < 1)
кофе с молоком оказалось практически перемешано. Докажите, что
за n переливаний поварешкой объемом 2c литров кофе с молоком
окажется перемешано не хуже.
--- Вода ------------------------------------------------------
4.10. В два достаточно больших бидона как-то разлили 3 л воды.
Из первого переливают половину имеющейся в нем воды во второй,
затем из второго переливают половину имеющейся в нем воды в
первый, затем из первого переливают половину имеющейся в нем
воды во второй и т.д. Докажите, что независимо от того, сколько
воды было сначала в каждом из сосудов, после 100 переливаний в
них будет 2 л и 1 л с точностью до миллилитра.
--- Драгоценности ---------------------------------------------
4.11. Жители островов Чунга и Чанга раз в год на праздник обме-
ниваются драгоценностями. Жители Чунги привозят половину своих
драгоценностей на остров Чанга, а жители Чанги одновременно -
треть своих драгоценностей на остров Чунга. Так продолжается с
незапамятных времен. Никаких новых драгоценностей за это время
на островах не появилось, а старые -- не терялись. Какая часть
драгоценностей находится на каждом из островов?
4.12. То же, только жители Чунги привозят половину своих драго-
ценностей на остров Чанга, а жители Чанги после этого -- треть
всех оказавшихся у них драгоценностей на остров Чунга. На сле-
дующий год все повторяется. Тот же вопрос.
4.13. Пусть драгоценности состоят из золотых и серебряных мо-
нет, причем золотых в два раза меньше, чем серебряных (все зо-
лотые одинаковые и все серебряные тоже одинаковые). Докажите,
что тогда и на каждом из островов золотых монет в два раза
меньше, чем серебряных (как в случае задачи 4.11, так и в слу-
чае 4.12).
4.14. (Обобщение) Пусть драгоценности состоят из золотых и се-
ребряных монет. Докажите, что доля золотых монет среди всех мо-
нет на каждом из островов оказывается одинаковая (как в случае
задачи 4.11, так и в случае 4.12).
--- Снова кофе с молоком --------------------------------------
4.15. В двух достаточно больших бидонах находится кофе, разбав-
ленное молоком, концентрации кофе разные (иначе неинтересно).
Разрешается отлить p-ую часть смеси из первого бидона во вто-
рой, а затем q-ую часть из второго бидона в первый (0 < p < 1,
0 < q < 1). Эти действия можно повторять многократно. Докажите,
что происходит перемешивание, то есть концентрации кофе в бидо-
нах выравниваются.
О задачах
Происхождение центральных в этом цикле задач 4.6 - 4.8 я от-
считываю от лекций Э.Э.Шноля "О решении уравнений", опублико-
ванных в VIII выпуске сборника "Математическая школа" (изд-во
МГУ, 1966). Под их впечатлением и возник цикл задач "про пере-
мешивание".
Задачи 4.2, 4.3, 4.10 и 4.11 происходят из замечательной
книги "Заочные математические олимпиады". Ее авторы Н.Б.Василь-
ев, В.Л.Гутенмахер, Ж.М.Раббот и А.Л.Тоом, а редактор - С.Л.Та-
бачников, второе издание - 1986 г., издательство "Наука". Нужно
смотреть параграф 6 "Последовательности и итерации". Задача 4.2
- это задача про гусей.
Задачи 4.11 - 4.14 -- это тоже задачи про перемешивание, их
можно было бы сформулировать для сюжета "кофе с молоком", но
тогда длинно описывается один из типов переливаний. При решении
этих задач нужно не только получить ответ при предположении,
что перемешивание происходит, но и доказать, что оно действи-
тельно имеет место.
Задача 4.5 взята с Московской математической олимпиады 1998
года, окружной тур, потом она была повторена в октябре 1998 го-
да на XII Уральском Турнире юных математиков.
Задача 4.6 - это задача Н.Н.Константинова.
Задача 4.9 возникла благодаря замечанию А.Парамоновой, сту-
дентки 5 курса КГПУ, в ответ на мое предположение. О других за-
дачах про перемешивание, где соавторами выступили мои студенты,
я расскажу при разборе задач этого цикла.
(С) С.И.Соболев, 1999-2002