Задание 4 "Переливания и перемешивание" --- Вокруг самовара ------------------------------------------- 4.1. Поставили самовар, а потом 7 раз садились пить чай и каж- дый раз выпивали половину имеющейся в нем воды. Оказалось, что после этого остался всего стакан воды. Сколько воды было в са- моваре перед чаепитием? 4.2. Поставили самовар, а потом 7 раз садились пить чай и каж- дый раз выпивали половину имеющейся в нем воды и еще полстака- на, после чего воды не осталось. Сколько воды было в самоваре перед чаепитием? 4.3. Имеются две одинаковые чашки, одна с чаем, а другая - пус- тая. Из первой переливают половину имеющегося в ней чая во вто- рую, затем из второй переливают треть имеющегося в ней чая в первую, затем из первой переливают четверть имеющегося в ней чая во вторую и т.д. Сколько чая окажется в каждой из чашек после 100 переливаний? --- Кофе с молоком -------------------------------------------- 4.4. В чашку налили 20 ложек кофе. Аня выпивает из чашки одну ложку кофе и добавляет одну ложку молока. Перемешивает. Затем выпивает одну ложку смеси и опять добавляет одну ложку молока. Сколько раз Аня может проделать эту операцию, прежде чем в сме- си кофе станет меньше, чем молока? 4.5. Имеются пол-чашки кофе и пол-чашки молока. Ложку молока перелили в кофе, небрежно перемешали и ложку полученной неодно- родной смеси перелили обратно в молоко. Чего в результате может оказаться больше: молока в кофе или кофе в молоке? --- Перемешивание --------------------------------------------- 4.6. В двух достаточно больших бидонах содержится: в первом 2 л кофе, а во втором -- 2 л молока. Из первого переливают 1 л во второй, перемешивают, а затем переливают 1 л обратно в первый бидон и опять перемешивают (будем считать, что одно переливание состоит из двух шагов). Докажите, что если эти действия повто- рять, то количество кофе как в первом, так и во втором бидоне будет стремиться к 1 литру. В этом случае концентрации кофе в бидонах выравниваются. Когда такое наблюдается, будем говорить, что происходит переме- шивание. 4.7. Пусть с каждым шагом переливают c литров из первого бидона во второй и обратно, 0 < c < 2. Докажите, что перемешивание также происходит. А если для каждого переливания можно брать свою поварешку? Пусть для n-го переливания берется поварешка объемом c_n лит- ров, 0 < c_n < 2. Что в решении задачи 4.7 изменится? 4.8. Докажите, что если для каждого переливания можно брать свою поварешку, то перемешивания может и не быть. Считаем, что есть поварешки всех мыслимых размеров, больше 0 и меньше 2 лит- ров, переливание состоит из двух шагов. 4.9. За 2n переливаний поварешкой объемом c литров (0 < c < 1) кофе с молоком оказалось практически перемешано. Докажите, что за n переливаний поварешкой объемом 2c литров кофе с молоком окажется перемешано не хуже. --- Вода ------------------------------------------------------ 4.10. В два достаточно больших бидона как-то разлили 3 л воды. Из первого переливают половину имеющейся в нем воды во второй, затем из второго переливают половину имеющейся в нем воды в первый, затем из первого переливают половину имеющейся в нем воды во второй и т.д. Докажите, что независимо от того, сколько воды было сначала в каждом из сосудов, после 100 переливаний в них будет 2 л и 1 л с точностью до миллилитра. --- Драгоценности --------------------------------------------- 4.11. Жители островов Чунга и Чанга раз в год на праздник обме- ниваются драгоценностями. Жители Чунги привозят половину своих драгоценностей на остров Чанга, а жители Чанги одновременно - треть своих драгоценностей на остров Чунга. Так продолжается с незапамятных времен. Никаких новых драгоценностей за это время на островах не появилось, а старые -- не терялись. Какая часть драгоценностей находится на каждом из островов? 4.12. То же, только жители Чунги привозят половину своих драго- ценностей на остров Чанга, а жители Чанги после этого -- треть всех оказавшихся у них драгоценностей на остров Чунга. На сле- дующий год все повторяется. Тот же вопрос. 4.13. Пусть драгоценности состоят из золотых и серебряных мо- нет, причем золотых в два раза меньше, чем серебряных (все зо- лотые одинаковые и все серебряные тоже одинаковые). Докажите, что тогда и на каждом из островов золотых монет в два раза меньше, чем серебряных (как в случае задачи 4.11, так и в слу- чае 4.12). 4.14. (Обобщение) Пусть драгоценности состоят из золотых и се- ребряных монет. Докажите, что доля золотых монет среди всех мо- нет на каждом из островов оказывается одинаковая (как в случае задачи 4.11, так и в случае 4.12). --- Снова кофе с молоком -------------------------------------- 4.15. В двух достаточно больших бидонах находится кофе, разбав- ленное молоком, концентрации кофе разные (иначе неинтересно). Разрешается отлить p-ую часть смеси из первого бидона во вто- рой, а затем q-ую часть из второго бидона в первый (0 < p < 1, 0 < q < 1). Эти действия можно повторять многократно. Докажите, что происходит перемешивание, то есть концентрации кофе в бидо- нах выравниваются. О задачах Происхождение центральных в этом цикле задач 4.6 - 4.8 я от- считываю от лекций Э.Э.Шноля "О решении уравнений", опублико- ванных в VIII выпуске сборника "Математическая школа" (изд-во МГУ, 1966). Под их впечатлением и возник цикл задач "про пере- мешивание". Задачи 4.2, 4.3, 4.10 и 4.11 происходят из замечательной книги "Заочные математические олимпиады". Ее авторы Н.Б.Василь- ев, В.Л.Гутенмахер, Ж.М.Раббот и А.Л.Тоом, а редактор - С.Л.Та- бачников, второе издание - 1986 г., издательство "Наука". Нужно смотреть параграф 6 "Последовательности и итерации". Задача 4.2 - это задача про гусей. Задачи 4.11 - 4.14 -- это тоже задачи про перемешивание, их можно было бы сформулировать для сюжета "кофе с молоком", но тогда длинно описывается один из типов переливаний. При решении этих задач нужно не только получить ответ при предположении, что перемешивание происходит, но и доказать, что оно действи- тельно имеет место. Задача 4.5 взята с Московской математической олимпиады 1998 года, окружной тур, потом она была повторена в октябре 1998 го- да на XII Уральском Турнире юных математиков. Задача 4.6 - это задача Н.Н.Константинова. Задача 4.9 возникла благодаря замечанию А.Парамоновой, сту- дентки 5 курса КГПУ, в ответ на мое предположение. О других за- дачах про перемешивание, где соавторами выступили мои студенты, я расскажу при разборе задач этого цикла. (С) С.И.Соболев, 1999-2002