Задание 7 "Раскрываем скобки"
Обозначение: x^n -- x в степени n.
Несложно проверить, что
(1 - x)(1 + x) = 1 - x^2
(1 - x)(1 + x + x^2) = 1 - x^3
7.1. Придумайте и докажите обобщения этих тождеств.
Давайте умножим 1-x на многочлен бесконечной степени
1 + x + x^2 + x^3 + ...
(такие "многочлены" называются формальными степенными рядами):
1 + x + x^2 + x^3 + ...
-------------------------------
1 | 1 + x + x^2 + x^3 + ...
-x | -x - x^2 - x^3 - x^4 - ...
При приведении подобных происходят такие сокращения:
x - x = 0, x^2 - x^2 = 0, x^3 - x^3 = 0, ...
и остается только 1. Итак,
(*) (1 - x)(1 + x + x^2 + x^3 + ...) = 1
7.2. Докажите, что
(1 + x)(1 - x + x^2 - x^3 + ...) = 1
(в правом множителе знаки чередуются).
7.3. Вычислите
(1 - x)(1 + 2 x + 3 x^2 + 4 x^3 + ...)
7.4. Найдите формальный степенной ряд f(x), являющийся решением
уравнения
(1 - 2 x + x^2) f(x) = 1
Указание. 1 - 2 x + x^2 = (1 - x)^2. Посмотрите на задачу 7.3.
Можно ли разложить формальный степенной ряд
1 + x + x^2 + x^3 + ...
на множители? Оказывается, что можно!
7.5. Проверьте, что
(1 - x)(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4)(1 + x^8) ... = 1
Попробуйте умножать слева направо, первый множитель на второй,
что получилось - на третий, потом что получилось - на четвер-
тый, и так далее.
7.6. Докажите, что
(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4)(1 + x^8) ... = 1 + x + x^2 + x^3 +...
Для доказательства 7.6 можно сравнить тождество 7.5 с тождес-
твом (*), которое перед задачей 7.2. Но надо обдумать, почему
только один формальный степенной ряд f(x) удовлетворяет уравне-
нию
(1 - x) f(x) = 1
Но можно доказывать 7.6 так же, как и 7.5, умножая слева напра-
во, первый множитель на второй, что получилось - на третий, по-
том что получилось - на четвертый, и так далее.
7.7. Вычислите
(1 - x)(1 - x^2)(1 - x^3)(1 - x^4) ...
Оказывается, что происходит много сокращений! Выпишите начало
этого формального степенного ряда (до x^25). Какие коэффициенты
ненулевые и при каких степенях x? Какие закономерности Вы види-
те? Опишите то, что заметите.
Это будут Ваши результаты - частичное решение задачи. Вели-
кому российскому математику Леонарду Эйлеру (18-ый век) тоже
когда-то дали эту задачу, но прошло несколько лет, пока он за-
метил, что степени x, при которых коэффициенты ненулевые, -
знаменитые пятиугольные числа, известные от математиков Древней
Греции, и прошло еще время, пока он смог _доказать_ этот ре-
зультат. Так появилась знаменитая Пентагональная теорема Эйлера
(пентагон - пятиугольник).
Рассмотрим теперь обобщения формул
(a+b)^2 = a^2 + 2 ab + b^2
(a+b)^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3
7.8. Выпишите (a+b)^4, (a+b)^5 и (a+b)^6.
Попробуем найти закономерности в общем случае. Заметим, что
(a+b)^n = (a+b)(a+b)...(a+b) (n скобок)
Как выполняется такое умножение? Из каждой скобки берется a или
b, и взятые буквы перемножаются. Сохраним пока порядок взятых
букв. Пример:
(a+b)^3 = aaa +
+ aab + aba + baa +
+ abb + bab + bba +
+ bbb =
В одну строчку здесь выписаны анаграммы. Далее анаграммы запи-
сываются сокращенно:
= a^3 +
+ a^2 b + a^2 b + a^2 b +
+ a b^2 + a b^2 + a b^2 +
+ b^3 =
и приводятся подобные:
= a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3
7.9. Докажите, что
(**) (a+b)^n = Summa_{k+l=n} C(k,l) a^k b^l ,
где C(k,l) - количество анаграмм слова, в котором k букв a и l
букв b. Сумма берется по всем неотрицательным k и l, в сумме
составляющим n.
Число C(k,l) называется биномиальным коэффициентом из n по k
(или по l, все равно). Мы обозначим его здесь так: . Меж-
дународное обозначение: в круглых скобках в два этажа, n навер-
ху, k внизу. Биномиальный коэффициент читается так: "из n по
k". Он совпадает с известным из элементарной комбинаторики так
называемым числом сочетаний из n по k, но это еще нужно дока-
зать! У нас с помощью анаграмм это практически доказано, но на-
писать доказательство отдельно - очень полезная работа, упраж-
нение для старшеклассников, им нужно в этом тренироваться.
Формула (**) была известна еще арабским математикам в 10 ве-
ке, когда они заражали Европу взятыми в Индии десятью цифрами
0, 1, ..., 9. Но называется она формулой бинома Ньютона, по
имени великого английского математика, открывшего ее обобщение
(17-ый век). С ней мучались на вступительных экзаменах в Мос-
ковский университет великие русские мыслители Л.Н.Толстой и
А.И.Герцен. В 60-е годы этого века она была удалена из програм-
мы средней школы, в какой-то мере на смену ей пришли производ-
ная и интеграл (последний, что очень забавно, придя в школу ни
в каком виде не может попасть на вступительные экзамены в МГУ).
Итак,
(a+b)^n = Summa_{0<=k<=n} a^k b^{n-k} ,
или в немного другом виде (как его получить?)
(a+b)^n = Summa_{0<=k<=n} a^{n-k} b^k ,
и если подставить в последнюю формулу a=1 и b=x, то мы получим
(1+x)^n = Summa_{0<=k<=n} x^k ,
Это обобщения формул
(1 + x)^2 = 1 + 2 x + x^2
(1 + x)^3 = 1 + 3 x + 3 x^2 + x^3
Я покажу все-таки простое умножение при вычислении (1 + x)^2 :
1 + x
----------
1 | 1 + x
x | x + x^2
Подобные слагаемые x и x стоят по диагонали квадратика. Аналог
этого простого вычисления для (1 + x)^3 приводит к трехмерному
кубу. Где в кубической таблице стоят подобные слагаемые? Попро-
буйте представить! И это обобщается на случай (1 + x)^n.
7.10. Докажите, что биномиальные коэффициенты при k, рас-
тущем от 0 до n, сначала возрастают, а потом убывают.
7.11. Вычислите (1 + x + x^2)^n для n=2, n=3 и n=4.
7.12. Докажите, что коэффициенты <> в формуле
(1 + x + x^2)^n = Summa_{0<=k<=2n} <> x^k
при k, растущем от 0 до 2n, сначала возрастают, а потом убыва-
ют.
7.13. Вычислите (1 + x)(1 + x^2)(1 + x^3) ... (1 + x^n)
для n=2, n=3 и n=4.
7.14. Докажите, что коэффициенты многочлена
(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^3) ... (1 + x^n)
(после раскрытия скобок, приведения подобных и записи по воз-
растающим степеням x) сначала возрастают, а потом убывают.
7.15. Какова степень этого многочлена?
Квантовая формула бинома
Рассмотрим теперь обобщения формул
(a+b)^2 = a^2 + 2 ab + b^2
(a+b)^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3
работающие в квантовой физике.
В ней произведение букв ba не совпадает с произведением букв
ab, отличие такое:
ba = qab
где q - число.
При q=1 имеем классический случай: ba = ab.
Повторим, что у нас было в классическом случае, но с соответ-
ствующими изменениями.
Заметим, что
(a+b)^n = (a+b)(a+b)...(a+b) (n скобок)
Как выполняется такое умножение? Из каждой скобки берется a или
b, и взятые буквы перемножаются. Сохраним пока порядок взятых
букв. Пример:
(a+b)^3 = aaa +
+ aab + aba + baa +
+ abb + bab + bba +
+ bbb =
В одну строчку здесь выписаны анаграммы. Далее анаграммы прев-
ращаем в одночлены, перетягивая a влево, а b вправо, и учиты-
вая, что ba = qab :
= a^3 +
+ a^2 b + q a^2 b + q^2 a^2 b +
+ a b^2 + q a b^2 + q^2 a b^2 +
+ b^3 =
приводим подобные:
= a^3 + (1+q+q^2) a^2 b + (1+q+q^2) a b^2 + b^3
Взгляните, при q=1 получается известный классический результат!
7.16. Вычислите (a+b)^4, (a+b)^5 и (a+b)^6 в квантовом случае.
О задачах
Большинство вычислений доступны учащимся 7-9 классов, только
для старших - задачи на возрастание-убывание коэффициентов
7.10, 7.12 и 7.14.
Хорошо, когда с учениками 7-9 классов занимается учитель,
устная речь скрашивает трудности текста.
Некоторые задачи необычны, но образование - это изучение то-
го, что кажется ненужным, ведь то, что кажется нужным, без сом-
нения и так выучишь. Пример: школьное математическое образова-
ние в России остается на высоте, потому что у нас, в отличие от
других стран, в школе изучают геометрию, в которой много того,
что нужным не покажется.
Задача 7.14 была на 3-ем математическом соревновании "Кубок
Колмогорова", которое проходило в начале декабря в Москве.
Полезное чтение: "Многочлены" С.Л.Табачникова (мзд-во "Фа-
зис", 1996), стр. 20-24.
(С) С.И.Соболев, 1999-2002