Задание 8 "N-мерный куб" Точка 2-мерного пространства (плоскости) имеет две декартовы координаты x и y. Ее можно поэтому отождествить с парой чисел (x,y). Точка 3-мерного пространства -- тройка чисел (x,y,z), точка 4-мерного -- четверка чисел (x,y,z,t). Точка n-мерного пространства -- это n-ка чисел (x_1,x_2,...,x_n). Точки (0,0), (1,0), (0,1) и (1,1) -- вершины квадрата, кото- рый называется единичным квадратом на плоскости. 8.1. Выпишите в столбик а) вершины 3-мерного единичного куба, б) вершины 4-мерного единичного куба. Расположите их в правиль- ном порядке. Какое расположение Вы сочтете наиболее правильным? Вершины n-мерного единичного куба - это n-ки (a_1,a_2,...,a_n), где a_1, a_2, ..., a_n независимо друг от друга принимают зна- чения 0 или 1 (биты). Количество вершин равно 2^n. Если смот- реть на слово a_1a_2...a_n как на запись числа в двоичной сис- теме счисления, то получится, что вершины n-мерного куба зану- мерованы целыми числами от 0 до 2^n-1. В частности, в двумерном случае: --------------------------- | вершина | слово | номер | --------------------------- | (0,0) | 00 | 0 | | (0,1) | 01 | 1 | | (1,0) | 10 | 2 | | (1,1) | 11 | 3 | --------------------------- 8.1 (продолжение). Заполните такие же таблицы для 3-мерного и 4-мерного единичных кубов. Ребра единичного квадрата описываются так: (0,x), (1,x) -- вертикальные ребра, (x,0), (x,1) -- горизонтальные ребра, здесь x пробегает значения от 0 до 1. Если вместо 0 и 1 писать a (обозначает бит) и если не писать скобки и разделяющую запятую, то получится, что ребра кодируют- ся словами вида ax и xa. Этих слов 4, так как бит a принимает одно из двух значений 0 или 1 (а буква x однозначно трактуется как обозначение протяженности). Ребра единичного 3-мерного куба описываются так: (0,0,x), (0,1,x), (1,0,x), (1,1,x) - ребра, параллельные оси z; (0,x,0), (0,x,1), (1,x,0), (1,x,1) - ребра, параллельные оси y; (x,0,0), (x,0,1), (x,1,0), (x,1,1) - ребра, параллельные оси x. здесь x в записи ребра пробегает значения от 0 до 1. Если вместо битов 0 или 1 писать a и если не писать скобки и разделяющую запятую, то получится, что ребра кодируются словами вида aax, axa и xaa. Этих слов 12, так как биты a на каждом из своих двух мест независимо принимают значения 0 или 1, что дает 4 слова для каждого из 3 видов. Буква x везде однозначно трак- туется как обозначение протяженности. 8.2. Опишите ребра 4-мерного куба и подсчитайте их количество. Грани 3-мерного единичного куба описываются словами вида axx, xax и xxa. Вместо a можно поставить любой из битов 0 или 1, поэтому граней каждого вида 2, а всего граней 2*3=6. Буквы x служат для обозначения протяженности в соответствующих направ- лениях. К примеру, слов вида axx имеется 2: 0xx и 1xx, они опи- сывают грани, заполняемые точками (x_1,x_2,x_3): слово 0xx -- x_1=0, x_2 меняется от 0 до 1, x_3 тоже от 0 до 1; слово 1xx -- x_1=1, x_2 меняется от 0 до 1, x_3 тоже от 0 до 1. Эти две грани имеют протяженность в направлениях x_2 и x_3. Вместо обозначений x_1, x_2 и x_3 для координат в 3-мерном пространстве можно было бы использовать обозначения x, y и z, как мы это и делали раньше, но с x_1, x_2 и x_3 яснее происхож- дение буквы x для обозначения протяженности. Посмотрим теперь на 4-мерный куб. Вот пример его двумерной грани: x=0, y=0, z от 0 до 1, t от 0 до 1. То же самое в других обозначениях: x_1=0, x_2=0, x_3 от 0 до 1, x_4 от 0 до 1. Эта грань относится к виду, описываемому словом aaxx. А вот пример 3-мерной грани: x от 0 до 1, y от 0 до 1, z от 0 до 1, t=1. То же самое в других обозначениях: x_1 от 0 до 1, x_2 от 0 до 1, x_3 от 0 до 1, x_4=1. Эта грань относится к виду, описываемому словом xxxa. 8.3. Сколько двумерных граней у 4-мерного куба? 8.4. Сколько трехмерных граней у 4-мерного куба? Подсчитаем количество k-мерных граней n-мерного куба. Видов граней столько, сколько анаграмм слова, в котором k букв x и остальные n-k букв a. Это число мы раньше обозначали C(k,n-k) или < n/k >. Это число сочетаний из n по k или так называемый биномиальный коэффициент из n по k. Далее, в записи конкретного вида грани n-k букв a, поэтому граней этого вида 2^{m-k} (так как каждая буква a принимает независимо одно из двух значений, 0 или 1). Поэтому k-мерных граней n-мерного куба имеется n! B(n,k) = < n/k > * 2^{n-k} = --------- * 2^{n-k} k! (n-k)! К примеру, при подсчете количества двумерных граней 3-мерно- го куба у нас n=3, k=2 и ответ такой: 3*2=6, при подсчете коли- чества ребер 3-мерного куба n=3, k=1 и ответ 3*4=12. Число E_n = Summa_{k=0..n-1} (-1)^k B(n,k) называется эйлеровой характеристикой n-мерного куба. 8.5. Покажите, что E_n = 1-(-1)^n, то есть E_n = 0 при четном n и E_n = 2 при нечетном n. 8.6. Сколько 4-звенных путей, идущих по ребрам из вершины (0,0,0,0) в вершину (1,1,1,1) 4-мерного куба? 8.7. Обобщите задачу 8.6 на n-мерный куб. 8.8. Укахите, как можно, выйдя из вершины (0,0,0,0) 4-мерного куба, пройти по всем его ребрам, причем по каждому только один раз, и вернуться в вершину, из которой вышли. Единичный n-мерный куб задается неравенствами 0 <= x_1 <= 1, ..., 0 <= x_n <= 1, а единичный n-мерный симплекс -- неравенствами x_1 >= 0, ..., x_n >= 0, x_1+...+x_n <= 1. 8.9. Какие результаты, полученные для 3-мерного, 4-мерного или для n-мерного куба, Вы можете перенести на случай 3-мерного, 4-мерного или n-мерного симплекса? n-мерный куб с центром в начале координат задается неравен- ствами |x_1| <= 1, ..., |x_n| <= 1. Он тоже называется единичным, но по другой причине (справа в неравенствах стоит 1, определяющая размер этого куба). Рассмотрим n-мерный многогранник, задающийся неравенствами |x_1| + ... + |x_n| <= 1. 8.10. Исследуйте этот многогранник. Как описываются его верши- ны, ребра и k-мерные грани? Какова его эйлерова характеристика? При n=3 этот многогранник называется октаэдром. Задающее его неравенство можно в этом случае переписать так: |x| + |y| + |z| <= 1. Стандартный 3-мерный симплекс - это тетраэдр, треугольная пира- мида, он задается так: x >= 0, y >= 0, z >= 0, x + y + z <= 1 Эйлерова характеристика 3-мерного многогранника равна В - Р + Г, где В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней. 8.11. Проверьте, что эйлеровы характеристики тетраэдра, октаэд- ра и куба совпадают. О задачах Как обычно, задачи для младших (7-9 класс) рассеяны по всему тексту. Нужно находить то, что по плечу, и решать. В ВЗМШ -- Заочной математической школе при МГУ -- было зада- ние "Метод координат в пространстве", которое школьники очень любили, там были задачи про 4-мерный куб, вызывавшие большой интерес. Это задание было по книжке И.М.Гельфанд, Е.Г.Глаголева, А.А.Кириллов. Метод координат. -- М.: Наука, разные издания, от 1-го в 1964 г. до 5-го в 1974. В главе 2 этой книжки очень подробно разбирается 4-мерный куб. Интересные рассказы про многомерный мир содержатся в книге Эбботт Э.Э. Флатландия. Бюргер Д. Сферландия. -- М.: Мир, 1976. Ее первая часть -- перевод вышедшей в 1884 году книги Abbott E.A., Flatland. Английский текст с рисунками автора можно взять здесь (и учить по нему английский): http://www.geom.umn.edu/~banchoff/Flatland/ Поиграть с 4-мерным кубом можно на страничке http://www1.tip.nl/%7Et515027/hypercube.html Там же можно найти много ссылок. (С) С.И.Соболев, 2000-2002