Задание 9 "Гармонические функции"
Возьмем треугольник (если хотите, то правильный). Будем рас-
сматривать его как граф, то есть интересуясь только его верши-
нами и соединяющими их сторонами -- ребрами графа. Пусть каждой
вершине сопоставлено некоторое число. В таком случае будем го-
ворить, что на треугольнике задана функция. Для каждой вершины
есть соседние, соединенные с ней ребрами. Функцию будем назы-
вать гармонической, если для каждой вершины число, ей указан-
ное, является средним арифметическим чисел, указанных соседним
вершинам. Гармонические функции описывают установившиеся (не
меняющиеся со временем) распределения температуры.
Какие имеются гармонические функции на треугольнике?
Занумеруем вершины треугольника: 1, 2, 3, и пусть значения
функции в них равны соответственно f_1, f_2 и f_3. Тогда
f_2=(f_1+f_3)/2
f_3=(f_2+f_1)/2
f_1=(f_3+f_2)/2
то есть
f_1 - 2 f_2 + f_3 = 0
f_2 - 2 f_3 + f_1 = 0
f_3 - 2 f_1 + f_2 = 0
9.1. Докажите, что f_1 = f_2 = f_3.
Таким образом, гармонические функции на треугольнике --
только константы (значения во всех точках-вершинах одинаковые).
Докажем это другим образом, используя "принцип крайнего".
Возьмем из трех чисел, значений гармонической функции в верши-
нах треугольника, наименьшее (то, которое не больше других).
Обозначим его a, а другие -- b и c. Тогда
a <= b
a <= c
и, следовательно (сложим эти неравенства и поделим что получит-
ся на 2),
a <= (b+c)/2
И знак неравенства строгий:
a < (b+c)/2
если хотя бы в одном из неравенств a <= b и a <= c строгий знак
неравенства. Но у нас a = (b+c)/2, так как функция гармоничес-
кая. Поэтому имеют место равенства a=b и a=c, то есть a=b=c.
9.2. Докажите, что функция, гармоническая на квадрате, -- кон-
станта. Проверьте это разными способами.
9.3. Докажите, что функция, гармоническая на кубе, -- констан-
та. Под кубом имеется в виду граф, который образуют вершины ку-
ба и соединяющие их ребра.
Мы рассматриваем графы, которые устроены правильно в том
смысле, что у каждой вершины положение с соседями такое же, как
и у любой другой вершины.
Одним из важных примеров является целочисленная решетка, то
есть граф, вершины которого -- все целые числа, каждая вершина
n соединена в нем ребрами со своими двумя соседями n-1 и n+1.
Гармонические функции на целочисленной решетке -- это ариф-
метические прогрессии. Действительно, уравнение
f_n = (f_{n-1} + f_{n+1})/2
означает то, что
f_n - f_{n-1} = f_{n+1} - f_n
то есть, что число f_{n+1} - f_n не зависит от n. А это требо-
вание фактически и есть в определении арифметической прогрес-
сии, причем для этого числа имеется и специальное название --
разность арифметической прогрессии.
Если разность обозначить a, то мы получим
f_{n+1} = f_n + a
откуда
f_n = f_{n-1} + a = f_{n-2} + a + a = ... = f_0 + a*n
(проверьте формулу для отрицательных целых n).
Если обозначить f_0=b, то
f_n = a*n + b
График арифметической прогрессии, состоящий из точек (n,f_n),
лежит на прямой y=ax+b, являющейся графиком функции f(x)=ax+b.
И обратно, всякая такая прямая задает арифметическую прогрес-
сию.
Если мы возьмем часть целочисленной решетки, к примеру,
такую:
0, 1, 2, ..., N
то не для каждой точки все ее соседи будут принадлежать этой
части. В рассматриваемом примере исключительными точками явля-
ются точки 0 и N.
В общем случае нужно говорить про подграф. Вершина подграфа
называется внутренней, если все ее соседи в графе принадлежат
этому подграфу. В противном случае она называется граничной.
Можно искать функцию, которая гармоническая во внутренних
вершинах подграфа и задана явно в граничных. Несложно доказыва-
ется (эти рассуждения нам уже знакомы), что если гармоническая
функция на подграфе принимает наибольшее значение во внутренней
вершине, то она это же значение принимает и в какой-то из гра-
ничных вершин. Поэтому наибольшее значение гармонической фун-
кции на подграфе совпадает с ее наибольшим значением на границе
подграфа. То же можно сказать и про наименьшее значение. Отсюда
следует, что если гармоническая функция на границе подграфа
равна нулю, то и во всех вершинах подграфа она тоже равна нулю.
И еще отсюда следует то, что если мы ищем гармоническую функцию
на подграфе (то есть гармоническую во всех внутренних верши-
нах), имеющую данные значения в граничных вершинах, то найдем
не более одной такой функции. Действительно, если найдем две, f
и g, то их разность f-g тоже будет гармонической функцией (про-
верьте!), причем равной 0 на границе и потому тождественно рав-
ной 0.
9.4. Найдите гармоническую функцию f на отрезке [0, ..., N] це-
лочисленной решетки с заданными значениями в граничных точках 0
и N: f(0)=A, f(N)=B.
Перевод этой задачи на язык школьной математики: найдите
арифметическую прогрессию f_0, f_1, ..., f_N, такую, что f_0=A
и f_N=B.
Перевод на язык геометрии: проведите прямую через точки
(0,A) и (N,B) координатной плоскости.
Сформулируйте сами перевод на язык систем линейных уравне-
ний.
Посмотрим теперь на другие решетки.
С бесконечной клетчатой плоскостью связана двумерная цело-
численная решетка. Здесь клетки -- квадратики. Функция на клет-
чатой плоскости задается числами, вписанными в клетки. Введем
прямоугольную декартову систему координат так, чтобы начало бы-
ло в вершине одной из клеток, оси были направлены параллельно
соответствующим сторонам клеток и чтобы клетки-квадратики были
единичными. Точке (m,n) получившейся решетки припишем число,
вписанное в квадратик, для которого эта точка является левой
нижней вершиной. Здесь m и n - целые числа, поэтому и эта ре-
шетка называется целочисленной. У точки (m,n) четыре соседа:
(m+1,n), (m,n+1), (m-1,n), (m,n-1)
Все гармонические функции на одномерной целочисленной решет-
ке описывались так:
f(n) = an + b
Что будет в двумерном случае?
9.5. Проверьте, что функции
f(m,n) = am + bn + c
являются гармоническими на двумерной целочисленной решетке.
Указание. Нужно проверить, что
f(m,n) = (f(m+1,n) + f(m,n+1) + f(m-1,n) + f(m,n-1))/4
Функции f(x,y)=ax+by+c называются аффинными. Они "сделаны"
из функций x, y и 1 с помощью умножения на числа и потом сложе-
ния.
Однако аффинными функциями не исчерпываются все гармонические
функции на двумерной целочисленной решетке!
9.6. Проверьте, что функции x^2-y^2 и xy тоже гармонические.
9.7. Проверьте, что функции
x^3 - 3x*y^2 и 3x^2*y - y^3
тоже гармонические.
Нужно просто проверить тождество
f(x+1,y) + f(x,y+1) + f(x-1,y) + f(x,y-1) = 4*f(x,y)
И можно заметить, что "смесями" всех перечисленных функций
(получаемыми с помощью умножения на числа и сложения) гармони-
ческие функции на двумерной целочисленной решетке не исчерпыва-
ются!
Рассмотрим теперь другой паркет на плоскости, образованный
равными правильными треугольниками. С ним связаны сразу две ре-
шетки! Вершины треугольников образуют 6-решетку, для каждой
точки которой есть 6 соседей. А центры треугольников образуют
3-решетку, для каждой точки которой 3 соседа - центры треуголь-
ников, с которыми соседствует данный через стороны. Эти две ре-
шетки происходят и из сот -- паркета из правильных шестиуголь-
ников. Попробуем найти гармонические функции на таких решетках.
Для каждой из решеток нужно правильно выписать тождество,
которое придется проверять.
Пусть (x_1,y_1), (x_2,y_2) и (x_3,y_3) -- вершины правильно-
го треугольника с центром в начале координат O(0,0).
9.8. Покажите, что нужно проверять 3-тождество
f(x+x_1,y+y_1) + f(x+x_2,y+y_2) + f(x+x_3,y+y_3) = 3*f(x,y)
и, соответственно, 6-тождество
f(x+x_1,y+y_1) + f(x+x_2,y+y_2) + f(x+x_3,y+y_3) +
+ f(x-x_1,y-y_1) + f(x-x_2,y-y_2) + f(x-x_3,y-y_3) = 6*f(x,y)
9.9. Покажите, что для координат вершин (x_1,y_1), (x_2,y_2) и
(x_3,y_3) правильного треугольника с центром в начале координат
(0,0) справедливы следующие соотношения:
x_1 + x_2 + x_3 = 0, y_1 + y_2 + y_3 = 0
x_1*y_1 + x_2*y_2 + x_3*y_3 = 0
9.10. Какие функции из задач 9.6 и 9.7 являются гармоническими
на 3-решетке и на 6-решетке?
Мы все старались найти примеры гармонических функций на ре-
шетках. Но во всех примерах функции принимают как положитель-
ные, так и отрицательные значения. За одним единственным исклю-
чением, когда гармоническая функция -- константа. Кажется, что
положительных гармонических функций на целочисленных решетках
кроме констант и вовсе нет!
9.11. Пусть гармоническая функция на решетке принимает только
положительные целые значения. Докажите, что она -- константа.
Это старая задача математических кружков. Идея ее решения --
принцип "крайнего", нужно из значений этой функции выбрать на-
именьшее, ведь любое непустое подмножество множества натураль-
ных чисел имеет наименьший элемент! Далее додумайте сами.
Но непустое подмножество множества положительных чисел не
обязано иметь наименьший элемент! Ведь среди положительных чи-
сел нет наименьшего. Поэтому решение задачи 9.11 и просто, в
ней говорится про положительные, но _целые_ значения функции.
9.12. Положительная гармоническая функция на двумерной целочис-
ленной решетке -- константа.
О задачах
Мы рассматриваем гармонические функции на дискретном множес-
тве -- на графе или на решетке. Гармонические функции на плос-
кости -- отдельная захватывающая тема. Она у нас впереди. Из-
вестная по школьному курсу геометрии функция точки плоскости --
угол, под которым виден данный отрезок -- является гармоничес-
кой функцией. О ней изящно написал В.И.Арнольд в своих Лекциях
по уравнениям с частными производными (М.: НМУ, 1995). См. так-
же заметку В.И.Арнольда "Гармонические функции" в сборнике "Ма-
тематическое просвещение", вып. 3, 1958 г., раздел "В школьном
математическом кружке при МГУ". Задача 9.12 трудная. Подсказки
к ее решению для случая n-мерной целочисленной решетки можно
найти в книге Е.Б.Дынкина и А.А.Юшкевича "Теоремы и задачи о
процессах Маркова" (М.: Наука, 1967).
(С) С.И.Соболев, 2000-2002