Задание 4 "Принцип Дирихле"

1. В классе учится 25 учеников. а) Докажите, что найдутся 2
ученика, родившиеся в одном и том же месяце. б) Обязательно ли
найдутся 3 таких ученика?

2. 15 ребят собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то 2 из них
собрали одинаковое число орехов.

3. Докажите, что из любых 10 натуральных чисел, ни одно из
которых не делится на 10, можно выбрать
   а) 2 числа, разность которых делится на 10;
   б) несколько чисел, сумма которых делится на 10.

4. Из чисел 1, 2, ... , 49, 50 выбрали 26 чисел. Обязательно ли
среди них найдутся два числа, отличающиеся друг от друга на 1?

5. Можно ли накрыть равносторонний треугольник двумя меньшими
равносторонними треугольниками?

О задачах. Это задачи Н.Н.Константинова, предложенные в январе
2002 г. для математических кружков и подготовки школьников 7-8
классов к Турниру городов. Задачи 3 б) и 5 более трудные, чем
остальные.